==אתגרים 83== 

לקוח מתוך גליון 83 של "אתגרים" http://www.etgarim.co.il/EtgarimMag2.php?id=83 
הפיכת העברית נעשתה בעזרת "מדריך הטרמפיסט למחשבים" http://www.guides.co.il/php/hebrew.php 
עבר עיבוד מינימאלי (כמו למשל הפרדת ההסבר מהתשובה בחלק מהמקומות)

{חידה 1 מגיליון 83 רמת קושי: קלה מלי. שם החידה: מה אכפת לציפור?
יש עץ ועליו 10 ציפורים.
בא צייד ויורה בציפור אחת,
כמה ציפורים נשארות על העץ?
{רמז: 
התשובה אינה 9.}
{פיתרון: 
אפס ציפורים.
{הסבר
לא נשארות ציפורים על העץ, מכיוון שהן בורחות
ברגע שיש רעש של ייריה. הצייד ירה בציפור ואז
שאר הציפורים עפו משם.}}}

{חידה 2 מגיליון 83 רמת קושי: קלה זהבה. שם החידה: פעמיים בלילה
מופיע פעמיים בלילה ואף פעם לא ביום. הוא שני למלכה וגם למלך. מה זה?
{רמז
התבוננו במילים...}
{פיתרון
האות ל'.}}

{חידה 3 מגיליון 83 רמת קושי: קלה ג`ניפר ווד. שם החידה: חשבון זהיר
כמה זה שלושים לחלק לחצי ועוד עשר?
{רמז
לא 25.}
{פיתרון.
70.  
{הסבר
שלושים לחלק לחצי שווה 60.
מוסיפים 10 ומקבלים 70.}}}

{חידה 4 מגיליון 83 רמת קושי: בינונית דודו זוארץ.  שם החידה: הגיל שאפשר להתחיל
שאלו אדם מה גילו והוא ענה: 
גילי הוא כפלים ממכפלת שתי הספרות המרכיבות אותו. בן כמה הוא?
{רמז
כדאי לנסות לכתוב את המשוואה.  
הנעלמים הם ספרת האחרות וספרת העשרות}
{פיתרון
36}}

{חידה 5 מגיליון 83 רמת קושי: בינונית דודו זוארץ.  שם החידה: בעקבות במצב הכלכלי
שלושה חברים נכנסו לחנות.
* הראשון קנה 4 כריכים, ספל קפה ו10- בורקסים (לא במשקל) ושילם 169 שקל.
* השני קנה 3 כריכים ספל קפה ו7- בורקסים ושילם 126 שקלים.
כמה שילם החבר השלישי על כריך, ספל קפה ובורקס אחד?
{רמז
לרשום את המשוואות ו"לשחק" איתן קצת.}
{פיתרון
40 שקלים. 
{הסבר
רושמים את שתי המשוואות בשלושה נעלמים:
4x + y + 10z = 169 
3x + y + 7z = 126 

מחסרים אחת מהשניה:
x + 3z = 43 

נרשום את המשוואה הראשונה כך:
x + y + z + 3(x + 3z) = 169 

נציב בה את תוצאת חיסור המשוואות ונקבל:
x + y + z = 40}}}

{חידה 6 מגיליון 83 רמת קושי: בינונית יובל פילמוס.  שם החידה: חלוקות
בכמה אפשרויות ניתן לחלק מספר טבעי n
לסכום של מספרים טבעיים?
{דוגמא לאינטואיציה
למשל, את 3 ניתן לפרק ב4- דרכים שונות:
3
2+1
1+2
1+1+1}
{כיוון לרכישת אינטואציה
כדאי לבדוק מה קורה עבור מספרי n קטנים.
באופן כללי, בחידות מתמטיות טוב לעשות נסיונות.}
{פיתרון
מספר החלוקות הוא 2 בחזקת (n - 1)
{הסבר: אפשר להסתכל על תהליך החלוקה בצורה הבאה:
נתונות לנו n אבנים. שמים את האבן הראשונה על שולחן.
את האבן הבאה שמים מימין לאבן הראשונה, ואפשר לבחור
אם בצמוד לאבן הראשונה או ברווח מהאבן הראשונה.
כך ממשיכים עם שאר האבנים. קיבלנו חלוקה מסוימת,
וכך ניתן לקבל את כל החלוקות.
בכל שלב בתהליך, יכולנו לבחור בין שתי אפשרויות.
לכן, מספר החלוקות הוא 2 בחזקת (n פחות 1).}}}
 
{חידת הפרס מגיליון 83 רמת קושי: קשה יובל פילמוס.  שם החידה: שעשוע אלגברה
כידוע, שני מספרים טבעיים נקראים זרים אם אין להם גורם ראשוני משותף.
לדוגמא, 2 ו3- הם זרים, 2 ו4- אינם זרים.
מסתבר ששני מספרים x וy- הם זרים אם ורק אם ישנם שני מספרים שלמים a וb- כך ש- 1=by+ax.
לדוגמה, 2 ו3- זרים, ואכן 3 פחות 1 = 2.

{(א) הראו, לפי ההגדרה המקורית, שאם x וy- זרים אז כך גם y+x ו- xy.
{רמז
הוכיחו בדרך השלילה.}
{פיתרון
(א) נניח ש- p מחלק גם את xy וגם את y+x. בגלל ש- x ו- y זרים,
מ- xy|p נובע x|p או y|p, נניח x|p.
מזה ומ- y+x|p נובע y|p, ולכן p=1.}
}

{(ב) הוכיחו את חלק א' בעזרת אלגברה תיכונית!
{רמז
אחד בריבוע נשאר אחד!}
{פיתרון
1 = (ax + by)^2  =
a^2x^2 + b^2y^2 + 2abxy  =
a^2(x^2 + xy) + b^2(y^2 + yx) + (2ab - a^2 - b^2)xy ) =
a^2x + b^2y)(x + y) - (a - b)^2xy }
}
הערה: אפשר להכליל את חלקים א' וב'.}

{חידה 8 מגיליון 83 רמת קושי: קשה דודו זוארץ. שם החידה: תאום מרובע
נגדיר תאום כמספר שחציו הימני והשמאלי זהים (מספר ספרות זוגי).
למשל 164164 או 24252425.
מהו התאום המינימלי שהוא ריבוע של שלם?
{רמז
רשמו את צורת המספר אלגברית ונסו לנתח.}

{רמז נוסף
נסו לחשוב על הגורמים הראשוניים של המספר}
{פיתרון
פתרונו המפורט של אפק גול:
נסמן את המספר אותו אנו מחפשים ב- a , ולכן ריבועו הוא a^2.
כיון שנדרשנו למספר ספרות זוגי, נסמן את מספר הספרות ב- a^2 כ- 2n
ומכאן ברור שאם ניקח את n הספרות הימניות של המספר,
ונסמן את המספר שהן יוצרות כ- b , נקבל את היחס

a^2 = (10^n+1)*b (1)נניח כי ל- a יש m מחלקים ראשוניים, אזי ברור שכל אחד מהם
מחלק פעמיים את a^2, ולכן גם את (b*(10^n+1, ומכאן שכל מחלק
משותף k יופיע פעמיים ב- b או פעמיים ב- 1+10^n) ) או פעם בזה ופעם בזה.
כיון שלb- יש n ספרות, ברור שהוא קטן מ1+10^n) -).
אי לכך חייב לפחות מחלק מסויים אחד של a שיחלק פעמיים את (1+10^n).
נחפש (בתכנית מחשב - לא ידנית) את המספר הקטן ביותר בצורה 1+10^n
שלו מחלק ראשוני שמחלק אותו פעמיים, ונמצא למרבית המוזרות
כי עבור n=11 המספר 1+10^11 מתחלק ל11- ומקבלים 9090909091,
וגם מספר זה מתחלק ל- 11 ומקבלים 826446281.
כעת (1) מקבלת את הצורה הבאה:

a^2= 826446281*11*11*b ('1)הנסיון הטבעי הוא לבחור b=826446281 ואז

a=11*826446281=9090909091ונקבל תוצאה 82644628100826446281
מובן ששני האפסים במרכז המספר משבשים לנו את המבנה שרצינו,
ולכן עלינו למצוא קבוע שלם c הנמוך ביותר כך שa=826446281*11*c-,
וb=826446281*c*c- יהיה בן 11 ספרות.
קל לראות כי הקבוע הנדרש (הקטן ביותר) הוא c=4, ולכן נקבל
 ובהתאם:
a=36363636364
36363636364 ^ 2 = 1322314049613223140496
}